Ôn thi Đại học môn Toán - Chuyên đề: Tổ hợp và xác suất

ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: ĐẠI SỐ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

VẤN ĐỀ 1: SỬ DỤNG CÔNG THỨC P_n, A^k_n, C^k_n 

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Hoán vị

Số hoán vị của n phần tử: P_n = n!

2. Chỉnh hợp

Số chỉnh hợp: A^m_n = n(n - 1)(n - 2)...(n - m + 1)

Điều kiện: n ≥ m và n, m nguyên dương

3. Tổ hợp

B. ĐỀ THI

Bài 1: Đại học khối B năm 2008

Chứng minh rằng: 

(n, k là các số nguyên dương, k ≤ n, C^k_n là số tổ hợp chập k của n phần tử

Giải:

Bài 2: Đại học khối B năm 2006

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k thuộc {1, 2, ..., n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.

Giải:

VẤN ĐỀ 2: PHÉP ĐẾM VÀ XÁC SUẤT

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I. Phép đếm

1. Nguyên tắc đếm

Có 2 biến cố A và B

A có m cách xảy ra

B có n cách xảy ra

2 biến cố A và B cùng xảy ra có m × n cách

Biến cố A hoặc B xảy ra có m + n cách

Chú ý: Nguyên tắc trên có thể áp dụng cho nhiều biến cố

2. Chú ý:

- Nếu thay đổi vị trí mà biến cố thay đổi ta có một hoán vị hoặc một chỉnh hợp

- Nếu thay đổi vị trí mà biến cố không đổi ta có một tổ hợp

II. Xác suất

1. Không gian mẫu

Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra

Biến cố A là một tập con của không gian mẫu

2. Xác suất

Nếu các phần tử của không gian mẫu có cùng khả năng xảy ra, h là số phần tử của biến cố A, n là số phân tử của không gian mẫu. Xác suất để biến cố A xảy ra:

3. Các công thức

- Không gian mẫu E là biến cố chắc chắn xảy ra: p(E) = 1

- Biến cố Ø là biến cố không thể xảy ra: p(Ø) = 0

- Biến cố kéo theo A → B là biến cố A xảy ra thì biến cố B xảy ra: . P(A) ≤ P(B)

- A υ B là biến cố (A xảy ra hay B xảy ra). p(A υ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B)

- A ∩ B là biến cố A và B cùng xảy ra

- Biến cố A và B đối lập nếu không cùng xảy ra. Khi đó, ta có: A ∩ B = Ø; p(A ∩ B) = 0; p(A υ B) = p(A) + p(B)

- 

- Xác suất có điều kiện: Biến cố A xảy ra với điều kiện biến cố B đã xảy ra:  hay p(A ∩ B) = p(B).p(A|B)

- Biến cố A và B độc lập nếu biến cố B có xảy ra hay không thì xác suất của A vẫn không đổi: p(A|B) = p(A), p(A ∩ B) = p(A)p(B)

B. ĐỀ THI

Bài 1: Đại học khối D năm 2006

Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Giải:

Tải miễn phí sách ở đây